SPI2と一般常識 練習問題を解く

SPI2/まるわかり講座と練習問題

確率(まるわかり講座)

計算力とともに論理的思考力も求められる確率。SPI2の中でも難度の高い論点だ。
まずはこの例題で確率とはどんな問題かを理解し,解き方の流れを身につけよう。

問題

袋の中に赤玉が4個と白玉が7個入っている。
この中から同時に3個の玉を取り出すとき,
少なくとも1個は赤玉である確率はいくらか。

解答だけを確認する
詳しすぎる解説

確率とは「そのことがらが起こる起こりやすさ」を数値で表したもの

解法のコツ

イメージを持っていただくために,ここで,コインの簡単な例題を考えてみましょう。
「コインを1回投げて「表」の出る起こりやすさ」とは,数値でどのように表すことができるでしょうか?

コインには,「表」と「裏」がありますね。
1回投げて落ちたとき,上になるのは,「表」か「裏」のどちらかで2通りありえます。
したがって,「表」が出る可能性は,「表」「裏」の2通りのうちの1通りです。

つまり,2分の1(=50%)の確率ですね。

このように,確率は,

 重要公式

「そのことがらの起こる場合の数」÷「(起こりうる)すべての場合の数」

で求められます。

コインの例題ですと,「そのことがらの起こる場合の数」が, 「表」が出る=1通り
「(起こりうる)すべての場合の数」が,コインを1回投げた場合「表」「裏」が出る=2通り
となるので,確率は,1通り÷2通り= と表されます。

なお,確率は通常,分数で表示されていますので,分数をさらに計算して,少数で表す必要はありません。
確率は,どんな問題でも上で示した式が基本となりますので,しっかり覚えておきましょう。

もう一つ,必ず覚えておきたいのが,コンビネーション(C)と呼ばれる公式です。

 コンビネーション(C)の公式



というふうに計算します。

ではこのコンビネーションの公式の使い方について,トランプを例に考えてみましょう。


1組が52枚の普通のトランプがある。
この中から2枚同時に引くとき,2枚ともスペードを引く確率はいくらか?

まず,「(起こりうる)すべての場合の数」を求めましょう。
52枚のトランプから2枚を引くということは,必ずしも2枚ともスペードを引くとは限りませんね。
ハートやクローバーかもしれません。

「1枚がスペード,もう1枚もスペード」
「1枚がスペード,もう1枚がハート」
「1枚がハート,もう1枚がクローバー」

などなど,さまざまな組み合わせが考えられます。


したがって,「52枚のうちから2枚を引く」場合のさまざまな組み合わせが,(起こりうる)すべての場合の数になります。

このようなたくさんの組み合わせが考えられるときに,先ほどのコンビネーション(C)の公式を使います。

コンビネーション(C)とは,組み合わせを求める公式



52枚のうち2枚を引く組み合せの数を,この公式に当てはめて求めると,



次に,13枚あるスペードから2枚スペードを引く場合の数は,同様に



したがって,1組のトランプ52枚から2枚同時に引くとき,2枚ともスペードを引く確率は,



と求められます。

先に述べた通り,確率の正解はほとんどの場合,分数で表しますから,「78÷1326」として,少数計算にしないよう注意しましょう。

この公式は確率の問題では必須なので,必ず覚えて使えるようにしておきましょう!

もう一度問題を見る
本問 解説

それでは,今回の問題を考えてみましょう。
まず,問題文をわかりやすくするため,図に置き換えて整理します。



この図のように,袋の中に,赤玉が4個,白玉が7個,全部で11個の玉が入っていて,この中から,3個の玉を同時に取り出すという設定です。

また,同じ赤玉・同じ白玉でも,それぞれ異なる玉なので,図のように番号がついているようなイメージになります。

取り出す玉は,当然,3個とも赤玉の場合もあるし,3個とも白玉の場合もあります。また,2個が赤玉で1個が白玉,逆に,2個が白玉で1個が赤球という場合もありえます。

数えていくとホントにたくさんの組み合わせになってしまいますね。

そこで注目したいのは,問題文のこの部分です。

「~,少なくとも1個は赤玉である確率はいくらか。」

「少なくとも1個は赤球である」,ということは,

「同時に取り出す3個の玉のち,必ず1個は赤球である」

つまり,「3個とも白玉であることはない」

ということです。

ここで速解ポイントです!

速解ポイント 問題文中に「少なくとも~」とあるときは,
余事象の確率を利用すると素早く求められる!

余事象とは?

「Aが起こる」ことに対して「Aが起こらない」ことを余事象という。
余事象の確率は
(Aが起こらない確率)=1-(Aが起こる確率)
で求めることができる。

「少なくとも1個は赤玉」とは,次の3通りが考えられますね。

【1】赤玉が3個 【2】赤玉が2個 【3】赤玉が1個

つまり,「少なくとも1個は赤玉」であるということは,

「赤玉が0個ではない」=「白玉が3個ではない」

ということなので,「白玉が3個である」ことの余事象となります。

したがって,「余事象の公式」を利用して,



を求めればよいことがわかります。

検証と解答

では,順を追って計算していきましょう。

まず,11個から3個を取り出す場合の数は,コンビネーション(C)の公式を使うと,次のように求められます。

◆ 11個から3個を取り出すときの組み合わせの数



次に,白玉7個から3個を取り出す場合の数は,同様にコンビネーション(C)の公式を使い,次のように求めます。

◆ 白玉7個から3個を取り出すときの組み合わせの数




したがって,3個とも白玉である確率は,




よって,少なくとも1個は赤玉である確率

◆ 余事象の公式から「少なくとも1個は赤玉である」確率



となりますので,正解はFだとわかります。

正解 F

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